Zero di e^x + sin x per bisezione e Taylor

Testo

Sia $g(x)=e^{x}+\sin x$. (a) Trova la soluzione dell’equazione $g(x)=0$ compresa tra $x=-1$ e $x=0$ col metodo di bisezione, con errore $\le 0.1$. (b) Trova la soluzione con un’approssimazione polinomiale di primo grado. (c) Trova la soluzione con un’approssimazione polinomiale di secondo grado.

Soluzione

(a) Bisezione. Verifico il cambio di segno: $g(-1)=e^{-1}+\sin(-1)=0.368-0.841=-0.473<0$, $\;g(0)=1+0=1>0$. Radice in $[-1,0]$.

• $g(-0.5)=0.607-0.479=+0.127>0\Rightarrow$ radice in $[-1,-0.5]$.
• $g(-0.75)=0.472-0.682=-0.210<0\Rightarrow$ radice in $[-0.75,-0.5]$.
• $g(-0.625)=0.535-0.585=-0.050<0\Rightarrow$ radice in $[-0.625,-0.5]$.
• $g(-0.5625)=0.570-0.533=+0.037>0\Rightarrow$ radice in $[-0.625,-0.5625]$, ampiezza $0.0625<0.1$.

Quindi $x_0\approx-0.59$.

(b) Approssimazione di primo grado (Taylor in $0$). $g(0)=1$, $g'(x)=e^{x}+\cos x\Rightarrow g'(0)=2$. Retta: $1+2x=0\Rightarrow$ $x_1=-\tfrac12=-0.5.$

(c) Approssimazione di secondo grado. $g''(x)=e^{x}-\sin x\Rightarrow g''(0)=1$. Polinomio: $1+2x+\tfrac{x^2}{2}=0\Rightarrow x^2+4x+2=0$ $x=\frac{-4+\sqrt{16-8}}{2}=-2+\sqrt2\approx-0.586.$ Il valore quadratico coincide bene con la radice ottenuta per bisezione. $\boxed{x_0\approx-0.586,\qquad x_1=-0.5,\qquad x_2=-2+\sqrt2\approx-0.586}$

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Algoritmo di bisezione · Teorema degli zeri
Competenze: Approssimare
Tipo di esercizio: Calcolo numerico